Boolesche Algebra und Computer: Ein Informatik-Kurs by Gerd Harbeck, Karl-Heinrich Jäschke

By Gerd Harbeck, Karl-Heinrich Jäschke

Kaum eine Maschine wird in so unterschied1ichen Bereichen unserer Gesellschaft eingesetzt wie der desktop. Warenhliuser erfassen Wareneingang und -ausgang mit Computern, Banken bedienen sich der elektronischen Oatenverarbeitungsanlage (EOVA) ftir Buchungen, in statistischen Landesiimtern werden Erhebungsbogen maschinell gelesen und ausgewertet, und in Stiidten werden Ampelanlagen von Rechnern so gesteuert, wie es das Verkehrsaufkommen erfordert. Eine besondere Bedeutung nimmt der desktop in Forschung und Technik ein. Die Raumfahrt z.B. ist erst durch den Einsatz von Computern moglich geworden. Moderne Rechner konnen bis zu ten thousand 000 Additionen in einer Sekunde durch fUhren und eine quick unvorstellbar groSe Menge von Oaten speichern. Oiese Ge schwindigkeit der Bearbeitung, diese groSe Speicherfahigkeit und die Exaktheit der Berechnungen erzeugen im Laien leicht das Geflihl, im computing device seien, magische Krlifte" am Werk, er sei "unfehlbar" und bedrohe die Entscheidungsfreiheit des Menschen. Yom machine geht etwas Geheimnisvolles und Faszinierendes, bis wellen sogar etwas Furchterregendes aus. Nur derjenige, der Aufbau und Funktionsweise einer Oatenverarbeitungsanlage kennt, weii ihre Leistungsfahigkeit und Anwendungsmoglichkeiten richtig einzu schatzen. Dieses Buch solI eine Hilfe sein, die ersten Grundlagen fUr das Verstand nis des desktops zu erarbeiten. 1m ersten Kapitel werden Aussagenalgebra und Schaltalgebra als Modelle der Booleschen Algebra entwickelt. Anschlie6end wird das Modell eines programmgesteuerten desktops aufgebaut, das die wesentlichen Funktionstelle eines pcs enthiilt und deren Zusammenspiel zeigt. Die Verfasser Sankelmark, im September 1972 Inhaltsverzeichnis 1. Moclelle der Booleschen Algebra 1 Aussageformen 1.1. 1 1.2. Logische Verkniipfungen 7 Erstes Modell: Aussagenalgebra thirteen 1.3.

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33: Vereinfachen Sie die gegebenen Schaltungen so weit wie moglich! 34: a) Erweitern Sie das Baumdiagramm auf vier Variablen und geben Sie aIle Wertekombinationen an. b) Das K amaugh-Diagramm fijr vier Variablen erhiilt man aus dem fUr drei Variablen durch eine weitere Unterteilung der Felder. Ordnen Sie jedem Feld eine Wertekombination zu. c) Geben Sie die Wertetabelle des Terms (ii V b) /\ (c Vd) an und zeichnen Sie das Kamaugh-Diagramm des Terms. 7. Dualitat der Gesetze Die bisher gefundenen Gesetze der Booleschen Algebra sollen noch einmal iibersichtlich in Fonn von Gleichungen zusammengestellt werden: Gesetz der doppelten Negation: a=a 42 Gesetze der Konjunktion Kommutativgesetz : a/\b=b/\a Gesetze der Adjunktion Kommutativgesetz : aVb=bVa Assoziativgesetz : (a /\ b) /\ c = a /\ (b /\ c) Assoziativgesetz : (a V b) V c = a V (b V c) Idempotenzgesetz : a/\a=a Idempotenzgesetz: a Va= a Gesetz vom Widerspruch: at\a=f Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten: Gesetze mit fund w: at\f=f at\w=a Gesetze mit fund w: aVw=w aVf=a aVa=w Die Gegeniiberstellung der Gesetze der Konjunktion und Adjunktion zeigt, daE sich aus einem Gesetz ein neues ergibt, wennman die Verkniipfungszeichen t\ und V und zugleich die Tenne fund w austauscht.

B. der Term (a V b) 1\ avb 1\ c realisiert werden, dann kann man ihn nach dem Cesetz yom Widerspruch durch den gleichen Term f 1\ c ersetzen: (a V b) 1\ a V b 1\ c = f 1\ c. Nach dem Gesetz a 1\ f = f ergibt sich unter zusatzlicher Anwendung des Kommutativgesetzes der Konjunktion die Gleichung (a V b) 1\ a V b 1\ c = f. Die Schaltung des gegebenen Terms laBt sich also durch Anlegen der Spannung 0 V realisieren. 29: Untersuchen Sie, ob die angegebenen Terme gleich sind. 30: UND-Gatter und ODER-Gatter des SIMULOG lassen sich als NICHT-Gatter verwenden, da sie einen Ausgang fiir das Negat enthalten.

Auch bei diesen beiden Feldern ein gemeinsames Konjunkt vorkommt. Das Adjunkt der beiden Elementarkonjunkte kann zu bl\c verkiirzt werden. Haufig lassen sich bei einem Term weitere Vereinfachungen dadurch erreichen, Elementarkonjunkt mehrfach zu Verktirzungen herangezogen wird. d~ ein Beispiel: x = (a 1\ b 1\ c) V (a 1\ b 1\ c) V (a 1\ b 1\ c) Das rnittlere Elementarkonjunkt kann nach dem Gesetz a V a = a zweirnal hingeschrieben und zweimal zur Vereinfachung herangezogen werden. 74). 74. Das untere mittiere Feld kann zweimal zur Verkiirzung verwendet werden.

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