Représentations linéaires des groupes finis by Serre J Pierre

By Serre J Pierre

Creation du livre par l’auteur :

    Ce livre est shapeé de trois events, de niveaux et de buts assez différents :

    La première partie a été écrite à l’usage des chimistes théoriciens. Elle disclose l. a. correspondance, due à Frobenius, entre représentations linéaires et caractères. Il s’agit de résultats fondamentaux, d’usage consistent aussi bien en mathématique qu’en chimie quantique, ou en body. J’ai essayé d’en donner des démonstrations aussi élémentaires que attainable, n’utilisant que l. a. définition même d’un groupe et les rudiments de l’algèbre linéaire. Les exemples (§ 5) ont été choisis parmi ceux qui sont utiles aux chimistes.

    La deuxième partie est un cours donné en 1966 aux élèves de seconde année de l’École Normale. Elle complète l. a. première sur les issues suivants :
a) Degrés des représentations et propriétés d’intégralité des caractères (§ 6).
b) Représentations induites, théorèmes d’Artin et de Brauer, et applications (§§ 7 à 11).
c) Questions de rationalité (§§ 12 et 13).
    Les moyens utilisés sont ceux de l’algèbre linéaire (en un sens plus huge que pour l. a. première partie) : algèbres de groupes, modules, produits tensoriels non commutatifs, algèbres semi-simples.

    La troisième partie est une creation à los angeles théorie de Brauer : passage de los angeles caractéristique zero à los angeles caractéristique p (et inversement). J’ai utilisé librement le langage des catégories abéliennes (modules projectifs, groupes de Grothendieck), bien adapté à ce style de question.
    Les principaux résultats sont :
a) Le fait que l’homomorphisme de décomposition est surjectif : toute représentation irréductible de caractéristique p peut être relevée « virtuellement » (i.e. dans un groupe de Grothendieck convenable) en caractéristique 0.
b) Le théorème de Fong-Swan permettant de supprimer le mot « virtuellement » de l’énoncé précédent, pourvu que le groupe considéré soit
p-résoluble.
    J’ai également donné quelques purposes aux représentations d’Artin.

===== desk des matières =====

Introduction

I. Représentations et caractères

    § 1. Généralités sur les représentations linéaires
        1.1. Définitions
        1.2. Premiers exemples
        1.3. Sous-représentations
        1.4. Représentations irréductibles
        1.5. Produit tensoriel de deux représentations

    § 2. Théorie des caractères
        2.1. Le caractère d’une représentation
        2.2. Le lemme de Schur; premières applications
        2.3. Les family members d’orthogonalité des caractères
        2.4. Décomposition de los angeles représentation régulière
        2.5. Nombre des représentations irréductibles
        2.6. los angeles décomposition canonique d’une représentation
        2.7. Décomposition explicite d’une représentation

    § 3. Sous-groupes, produits, représentations induites
        3.1. Sous-groupes commutatifs
        3.2. Produit de deux groupes
        3.3. Représentations induites

    § 4. Extension aux groupes compacts
        4.1. Groupes compacts
        4.2. Mesure invariante sur un groupe compact
        4.3. Représentations linéaires des groupes compacts

    § 5. Exemples
        5.1. Le groupe cyclique C_n
        5.2. Le groupe C_∞
        5.3. Le groupe diédral D_n
        5.4. Le groupe D_nh
        5.5. Le groupe D_∞
        5.6. Le groupe D_∞h
        5.7. Le groupe alterné A₄
        5.8. Le groupe symétrique S₄
        5.9. Le groupe du cube

    Bibliographie (Partie I)

II. Représentations en caractéristique zéro

    § 6. L’algèbre du groupe
        6.1. Représentations et modules
        6.2. Décomposition de C[G]
        6.3. Le centre de C[G]
        6.4. Rappels sur les entiers
        6.5. Propriétés d’intégralité des caractères. Applications

    § 7. Représentations induites; critère de Mackey
        7.1. Rappels
        7.2. Caractère d’une représentation induite; formule de réciprocité
        7.3. restrict aux sous-groupes
        7.4. Critère d’irréductibilité de Mackey

    § 8. Exemples de représentations induites
        8.1. Sous-groupes distingués; purposes aux degrés des représentations irréductibles
        8.2. Produits semi-directs par un groupe commutatif
        8.3. Rappels sur certaines sessions de groupes finis
        8.4. Théorème de Sylow
        8.5. Représentations linéaires des groupes hyper-résolubles

    § 9. Théorème d’Artin
        9.1. L’anneau R(G)
        9.2. Énoncé du théorème d’Artin
        9.3. Première démonstration
        9.4. Deuxième démonstration de i) ⇒ ii)

    § 10. Théorème de Brauer
        10.1. Éléments p-adiques; sous-groupes p-élémentaires
        10.2. Caractères induits provenant des sous-groupes p-élémentaires
        10.3. building de caractères
        10.4. Démonstration des théorèmes 18 et 18'
        10.5. Théorème de Brauer

    § 11. functions du théorème de Brauer
        11.1. Caractérisations des caractères
        11.2. Un théorème de Frobenius
        11.3. Réciproque du théorème de Brauer
        11.4. Spectre de A ⨂ R(G)

    § 12. Questions de rationalité
        12.1. Les anneaux de R_K(G) et \\bar{R}_K(G)
        12.2. Indices de Schur
        12.3. Réalisabilité sur les corps cyclotomiques
        12.4. Rang du groupe R_K(G)
        12.5. Généralisation du théorème d’Artin
        12.6. Généralisation du théorème de Brauer
        12.7. Démonstration du théorème 28

    § 13. Questions de rationalité : exemples
        13.1. Le cas du corps des nombres rationnels
        13.2. Le cas du corps des nombres réels

    Bibliographie (Partie II)

III. creation à los angeles théorie de Brauer

    § 14. Les groupes R_K(G), R_k(G) et P_k(G)
        14.1. Les anneaux R_K(G) et R_k(G)
        14.2. Les groupes P_k(G) et P_A(G)
        14.3. constitution de P_k(G)
        14.4. constitution de P_A(G)
        14.5. Dualités
        14.6. Extension des scalaires

    § 15. Le triangle cde
        15.1. Définition de c : P_k(G) → R_k(G)
        15.2. Définition de d : R_K(G) → R_k(G)
        15.3. Définition de e : P_k(G) → R_K(G)
        15.4. Premières propriétés du triangle cde
        15.5. Exemple : le cas des p'-groupes
        15.6. Exemple : le cas des p-groupes
        15.7. Exemple : produits de p'-groupes et de p-groupes

    § 16. Théorèmes
        16.1. Propriétés du triangle cde
        16.2. Caractérisation de l’image de e
        16.3. Caractérisation des A[G]-modules projectifs par leur caractère
        16.4. Exemples de A[G]-modules projectifs : représentations irréductibles de défaut nul

    § 17. Démonstrations
        17.1. Changement de groupe
        17.2. Le théorème de Brauer dans le cas modulaire
        17.3. Démonstration du théorème 33
        17.4. Démonstration du théorème 35
        17.5. Démonstration du théorème 37
        17.6. Démonstration du théorème 38

    § 18. Caractères modulaires
        18.1. Le caractère modulaire d’une représentation
        18.2. Indépendance des caractères modulaires
        18.3. Traductions
        18.4. Une part de d
        18.5. Exemple : caractères modulaires du groupe symétrique S₄
        18.6. Exemple : caractères modulaires du groupe alterné A₄

    § 19. software aux représentations d’Artin
        19.1. Représentations d’Artin et de Swan
        19.2. Rationalité des représentations d’Artin et de Swan
        19.3. Un invariant

    Annexe

    Bibliographie (Partie III)

Index des notations
Index terminologique

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Making Groups Work: Rethinking Practice by Joan Benjamin

By Joan Benjamin

Such a lot folks paintings in them, so much folks stay in them. a few are complicated, a few are easy. a few meet just once whereas others final for many years. no matter what shape they take, teams are principal to our lives. Making teams paintings deals a finished advent to the most important concerns in crew paintings. It outlines the function of teams and the historical past of team paintings, discusses staff politics, and indicates how teams will help advertise social switch. certain case stories are used to make the an important hyperlink among thought and perform. The authors additionally supply suggestions for making teams paintings successfully. Making teams paintings is key examining for social employees, medical examiners, counsellors, group staff, formative years employees, running shoes and somebody else attracted to operating with teams. it's also an outstanding introductory textual content for college students and a convenient reference for pros.

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College Algebra (8th edition) by Raymond Barnett, Michael Ziegler, Karl Byleen

By Raymond Barnett, Michael Ziegler, Karl Byleen

The Barnett, Ziegler, Byleen "College Algebra" sequence is designed to be consumer pleasant and to maximise pupil comprehension. The aim of this sequence is to stress computational talents, rules, and challenge fixing instead of mathematical thought. the massive variety of pedagogical units hired during this textual content will advisor a scholar during the direction. built-in in the course of the textual content, the scholars and teachers will locate Explore-Discuss containers which inspire scholars to imagine seriously approximately mathematically strategies. In each one part, the labored examples are by way of matched difficulties that strengthen the idea that being taught. furthermore, the textual content comprises an abundance of workouts and purposes that might persuade scholars that math turns out to be useful.

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Categorical Algebra and its Applications: Proceedings of a by J. Adámek, J. Rosický, V. Trnková (auth.), Francis Borceux

By J. Adámek, J. Rosický, V. Trnková (auth.), Francis Borceux (eds.)

Categorical algebra and its functions include numerous basic papers on normal class idea, by means of the head experts within the box, and lots of attention-grabbing papers at the functions of classification idea in sensible research, algebraic topology, algebraic geometry, common topology, ring conception, cohomology, differential geometry, crew concept, mathematical good judgment and computing device sciences. the amount comprises 28 rigorously chosen and refereed papers, out of ninety six talks brought, and illustrates the usefulness of class concept this day as a robust software of research in lots of different areas.

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Basic Math & Pre-Algebra For Dummies (2nd Edition) by Mark Zegarelli

By Mark Zegarelli

"Basic Math & Pre-Algebra For Dummies, "2nd version, is an up to date and refreshed tackle this middle origin of math schooling. From optimistic, adverse, and entire numbers to fractions, decimals, and percents, readers will construct the mandatory talents to take on extra complicated issues, similar to imaginary numbers, variables, and algebraic equations. Updates comprise: causes and functional examples that replicate today's instructing methodsRelevant cultural vernacular and referencesStandard For Dummies fabrics that fit the present common and layout.

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Stable homotopy and generalised homology by Adams J.Frank

By Adams J.Frank

J. Frank Adams, the founding father of solid homotopy idea, gave a lecture sequence on the collage of Chicago in 1967, 1970, and 1971, the well-written notes of that are released during this vintage in algebraic topology. the 3 sequence desirous about Novikov's paintings on operations in advanced cobordism, Quillen's paintings on formal teams and intricate cobordism, and sturdy homotopy and generalized homology. Adams's exposition of the 1st themes performed a necessary position in environment the level for contemporary paintings on periodicity phenomena in good homotopy conception. His exposition at the 3rd subject occupies the majority of the booklet and provides his definitive remedy of the Adams spectral series besides many distinct examples and calculations in KU-theory that aid supply a think for the topic.

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